Изложение численного метода

Методические указания к выполнению контрольной работы

По дисциплине «Применение ЭВМ в термических расчетах»

Задания на контрольную работу можно получить на кафедре ТОТиГ либо у педагога. Номер варианта выдается педагогом, и нужно строго придерживаться собственного варианта.

Контрольная работа производится на листах формата А4 в редакторе Word. Для заметок рецензента оставляются поля и в конце Изложение численного метода работы несколько незапятнанных страничек. Титульный лист студент оформляет с указанием собственной фамилии и инициалов, курса-факультета-номера группы, номера варианта, также показывает должность и фамилию педагога, принимающего работу. На следующих страничках непременно должны быть цель работы, постановка задачки, начальные данные собственного варианта, набросок, короткая теория с основными формулами. Дальше Изложение численного метода необходимо представить

1. расчет температурного поля для 1-го шага по времени с необходимыми пояснениями, применяя способ прогонки.

2. расчет температурного поля для 1-го шага по времени с необходимыми пояснениями, применяя на выбор один из разных программных товаров (Mahtcad, он-лайн калькуляторы системы Веб либо др.).

3. график рассредотачивания температур в Изложение численного метода стержне в разные моменты времени (для 5 шагов по времени).

Таблица вариантов

Номер варианта а∙106,м2/с l,м t0,oC tw1,oC tw2,oC
7,5 0,01
7,5 0,03
7,5 0,05
7,5 0,07
7,5 0,09
7,5 0,11
0,1 0,13
0,1 0,15
0,1 0,01
0,1 0,02
0,1 0,03
2,5 0,04
2,5 0,05
2,5 0,06
2,5 0,07
2,5 0,08
3,6 0,09
3,6 0,1
3,6 0,11
3,6 0,12
3,6 0,13
3,6 0,14
0,15
0,16
0,17

Короткая теория

Применение способа конечных разностей по очевидной схеме (см. лабораторную работу №2), невзирая на его простоту, является не всегда оправданным. Как указывает практика, очевидная схема является неуравновешенной Изложение численного метода, т.е. при неточном задании краевых критерий и промежном округлении ошибки будут возрастать при увеличении шага по времени. Потому используют способ конечных разностей, реализуемый по неявной схеме, т.е. когда температуры для следующего момента времени выражаются через одну известную температуру предшествующего момента времени. Данная схема является полностью устойчивой, но Изложение численного метода решается несколько труднее, чем очевидная, т.к. приходится решать систему алгебраических линейных уравнений, записанных для всех внутренних узлов тела, где требуется найти температуру. Одно конечно-разностное уравнение связывает только три примыкающие внутренние узловые точки, как следует, чтоб найти температуру во всех внутренних точках, необходимо составить столько же конечно-разностных уравнений и Изложение численного метода решать полученную систему уравнений. Есть разные методы и способы решения систем линейных алгебраических уравнений, некими из их можно пользоваться в сети Веб в свободном доступе (напр, онлайн-калькуляторами).

В данной работе для решения одномерных задач нестационарной теплопроводимости применяется особый способ – способ прогонки, который также может быть применен Изложение численного метода в инженерной практике.

Изложение численного способа

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводимости в случае одномерной задачки имеет вид

. (1)

В лабораторной работе №2 был изложен метод решения дифференциального уравнения теплопроводимости (1) способом конечных разностей по очевидной схеме. Как было обозначено, решение задач по очевидной схеме будет устойчивым, если производится условие

. (2)

Последнее условие очень обременительно. Как демонстрируют практические Изложение численного метода расчеты, при довольно малых ∆х и определенных значениях а величина ∆τ оказывается очень малой и приходится медлительно продвигаться по времени, т.е. делать огромное число шагов по времени τ. Все это очень увеличивает трудозатратность решения.

Разглядим сейчас принципно другое сеточное уравнение. Если взять приближенное значение производной по времени «назад» (см.рис Изложение численного метода.1), то получим последующее конечно-разностное соотношение:

. (3)

Уравнение (3) решается сложнее, так как в него входят три неведомые температуры: Потому в этом случае необходимо решать сходу всю систему разностных уравнений типа (3) для всех точек i,k сетки. Тут так же, как и при решении уравнения Лапласа способом сеток, можно применить способ итераций.

Рис Изложение численного метода.1. Пространственно-временная область одномерной задачки теплопроводимости

Неявные разностные уравнения решаются труднее, чем очевидные, но они полностью устойчивы при любом шаге по времени. Это позволяет выбирать шаг ∆τ существенно огромным, чем в очевидных схемах, и соответственно уменьшать общее время счета всей задачки.

Для реализации численного способа решения задач теплопроводимости на Изложение численного метода ЭВМ разработан особый способ прогонки, более действенный, чем способ итераций.

Изложим способ прогонки на примере предшествующей задачки, предложенной в лабораторной работе №2. Уравнение (3) можно, разумеется, записать к тому же в виде

(4)

при исходных и граничных критериях:

в момент времени k=0

, (5)

и задана в точках: i=1,2,…,n-1;

(6)

. (7)

Уравнение (4) для удобства последующих выводов запишем в виде

, (8)

где Изложение численного метода .

Мысль способа прогонки заключается в последующем: связь меж 2-мя примыкающими узлами и представляется в виде

, (9)

где и некие коэффициенты, подлежащие определению. Если они будут известны, то делая «прогонку» в направлении справа-налево, начиная с правого граничного условия , можно по (9) поочередно отыскать все температуры в (k+1)-м слое по времени.

Из Изложение численного метода (9), заменяя i на i-1, имеем

. (10)

Подставляя (10) в формулу (8), получим

. (11)

Отсюда

. (12)

Сравнивая (12) с (9), получим последующие формулы:

(13)

При i=1 из (8) найдем

. (14)

Либо, используя граничное условие (6), из (14) получим

. (15)

С другой стороны, из (9) найдем

. (16)

Сравнивая (16) и (15), получим

(17)

Пользуясь системами (А) и (В), производя «прогонку» слева-направо в прямом направлении, поочередно найдем все коэффициенты .

Потом, используя «обратный ход», т.е. прогонку Изложение численного метода справа-налево, начиная с , как уже было обозначено, по (9) найдем все температуры в (k+1) слое, если понятно рассредотачивание температур в k-м слое. Таким макаром, указан переход от k-го слоя по времени к (k+1) слою.

Как следует, отправляясь от известного исходного (нулевого) слоя, можно выстроить решение во Изложение численного метода всех точках сетки i,k.


ПРИМЕР Дизайна КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Титульный лист

«Численное решение одномерных задач нестационарной теплопроводимости


izdevatelstva-administracii.html
izgib-s-krucheniem-sterzhnej-kruglogo-poperechnogo-secheniya.html
izgnanie-nemcev-iz-francii.html